Không gian thương(Quotient space)

Posted by: Tuyen Pham Thanh 3 years, 5 months ago

(0 comments)

Trong tôpô và các bộ phận liên quan của toán học, một không gian thương, nói một cách trực quan là kết quả của việc “dán vào nhau” của các điểm nhất định của một không gian tôpô cho trước. Các điểm đó được chỉ ra bởi một quan hệ tương đương. Điều này thường được thực hiện nhằm xây dựng các không gian mới từ các không gian nhất định. Tôpô thương bao gồm tất cả các tập có một tiền ảnh mở dưới phép chiếu chính tắc mà ánh xạ mỗi phần tử tới lớp tương đương của nó.

Định nghĩa

Cho (X, τ_X) là một không gian tôpô, và cho ~ là một quan hệ tương đương trên X. Không gian thương Y = X / ~ được định nghĩa là tập của các lớp tương đương của các phần tử của X:

Y = {[x] : x ϵ X} = {{v ϵ X : v ~ x} : x ϵ X},

được trang bị tôpô trong đó các tập mở được định nghĩa là các tập của các lớp tương đương mà có hợp là các tập mở trong X:

Tương đương, chúng ta có thể định nghĩa chúng là các tập có tiền ảnh mở dưới toàn ánh q : X → X / ~, mà gửi một điểm trong X tới lớp tương đương chứa nó:

τ_Y = {U ⊆ Y : q^-1(U) ϵ τ_X}.

Tôpô thương là tôpô cuối trên không gian thương đối với ánh xạ q.

Ánh xạ thương

Một ánh xạ f : X → Y là một ánh xạ thương nếu nó là toàn ánh, và một tập con U của Y là mở nếu và chỉ nếu f^-1(U) là mở. Tương đương, f là một ánh xạ thương nếu nó là toàn ánh và Y được trang bị tôpô cuối đối với f.

Cho một quan hệ tương đương ~ trên X, toàn ánh chính tắc q : X → X / ~ là một ánh xạ thương.

Các ví dụ

• Dán. Nhà tôpô học nói về dán các điểm vào nhau. Nếu X là một không gian tôpô và các điểm x, y ϵ X được “dán” vào nhau, thì chúng ta coi không gian thương đạt được từ quan hệ tương đương a ~ b nếu và chỉ nếu a = b hoặc a = x, b = y (hoặc a = y, b = x).
• Xét hình vuông đơn vị I² = [0, 1] × [0, 1] và quan hệ tương đương ~ tạo ra bởi yêu cầu rằng tất cả các điểm biên là tương đương, như thế xác định tất cả các điểm biên tới một lớp tương đương đơn. Thì I²/~ là đồng phôi với mặt cầu đơn vị S².
• Không gian bổ trợ. Tổng quát hơn, cho rằng X là một không gian tôpô và A là một không gian con của X. Người ta có thể xác định tất cả các điểm trong A tới một lớp tương đương đơn và để các điểm bên ngoài A tương đương chỉ với chính chúng. Không gian thương kết quả được biểu thị là X/A. Thì mặt cầu S² đồng phôi với đĩa đơn vị với biên của nó xác định tới một điểm đơn: D²/∂D².
• Xét tập X = ℝ với tôpô thường, và viết x ~ y nếu và chỉ nếu x – y là một số nguyên. Thì không gian thương X/~ đồng phôi với đường tròn đơn vị S¹ qua phép đồng phôi mà gửi lớp tương đương của x tới exp(2Πix).
• Một tổng quát hóa cho ví dụ trước như sau: Cho rằng một nhóm tôpô G hành động liên tục trên một không gian X. Người ta có thể tạo một quan hệ tương đương trên X bằng cách nói các điểm là tương đương nếu và chỉ nếu chúng nằm trong cùng quĩ đạo. Không gian thương dưới quan hệ này được gọi là không gian quĩ đạo, được biểu thị là X/G. Trong ví dụ trước G = ℤ hành động trên ℝ bởi tịnh tiến. Không gian quĩ đạo ℝ/ℤ đồng phôi với S¹.

Chú ý: Kí hiệu ℝ/ℤ có gì đó mơ hồ. Nếu ℤ được hiểu là một nhóm hành động trên ℝ thì thương là một đường tròn. Tuy nhiên, nếu ℤ được nghĩ là một không gian con của ℝ, thì thương là một đóa hoa có vô hạn đếm được cánh hoa dính với nhau tại một điểm đơn.

Các tính chất

Ánh xạ thương q : X → Y được đặc trưng trong số các ánh xạ toàn ánh bởi tính chất sau đây: nếu Z là bất kỳ không gian tôpô và f : Y → Z là một hàm bất kỳ, thì f là liên tục nếu và chỉ nếu f ∘ q là liên tục.

Không gian thương X/~ cùng với ánh xạ thương q : X → X / ~ được đặc trưng bởi tính chất vạn năng sau đây: nếu g : X → Z là một ánh xạ liên tục sao cho a ~ b kéo theo g(a) = g(b) ∀a, b ϵ X, thì tìm được một ánh xạ liên tục duy nhất f : X/~ → Z sao cho g = f ∘ q. Chúng ta nói rằng g đi xuống tới thương.

Các ánh xạ định nghĩa trên X/~ do đó chính xác là những ánh xạ phát sinh từ các ánh xạ liên tục định nghĩa trên X mà liên quan đến quan hệ tương đương (theo nghĩa chúng gửi các phần tử tương đương tới cùng một ảnh). Tiêu chuẩn này được sử dụng phổ biến khi nghiên cứu các không gian thương.

Đưa ra một toàn ánh liên tục q : X → Y, sẽ là hữu ích nếu có một tiêu chuẩn để xem xem liệu q có phải là một ánh xạ thương hay không. Hai tiêu chuẩn đủ là, q là mở hoặc đóng. Chú ý rằng những điều kiện này chỉ là điều kiện đủ, không phải điều kiện cần. Dễ thấy có các trường hợp các ánh xạ thương không mở cũng không đóng.

Mối liên quan với các khái niệm tôpô khác

• Tách
  • Nói chung, các không gian thương ít quan hệ với các tiên đề tách. Các tính chất tách của X không nhất thiết được kế thừa bởi X/~, và X/~ có thể có những tính chất tách không chia sẻ bởi X.
  • X/~ là một không gian T₁ nếu và chỉ nếu mọi lớp tương đương của ~ là đóng trong X.
  • Nếu ánh xạ thương là mở thì X/~ là một không gian Hausdorff nếu và chỉ nếu {(x, x’) : x ~ x’} là một tập con đóng của không gian tích X × X.
    
• Compact
  • Nếu một không gian là compact, thì tất cả các không gian thương của nó là compact.
  • Một không gian thương của một không gian compact địa phương không nhất thiết là compact địa phương.
• Liên thông
  • Nếu một không gian là liên thông hoặc liên thông-kênh, thì các không gian thương của nó cũng vậy.
  • Một không gian thương của một không gian liên thông đơn giản hoặc không gian co được không nhất thiết chia sẻ các tính chất đó.
• Số chiều
  • Số chiều tôpô của một không gian thương có thể là nhiều hơn (cũng như ít hơn) số chiều của không gian gốc.

(Bài viết này được dịch từ nguồn trên Wikipedia, trong đó có sự chọn lọc và bổ sung)

• ← Phần mềm tài chính / kế toán cho doanh nghiệp nhỏ – GnuCash: Cài đặt tài khoản
• Không gian Hausdorff(Hausdorff space) →